Die Grundlagen der Arithmetik
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Die Grundlagen der Arithmetik

Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl

Gottlob Frege
Breslau, 1884
Diese Ausgabe: Meiner, 1988
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Literatur­klassiker

  • Logik
  • Moderne

Worum es geht

Was ist eine Zahl?

Gottlob Freges Fragestellung in den Grundlagen der Arithmetik erscheint auf den ersten Blick trivial: Es soll definiert werden, was eine Zahl ist, was sie ausmacht und wie sie beschrieben werden kann. Normalsterbliche werden sich solche Fragen wohl niemals stellen, denn gewöhnlich sind Zahlen einfach da, ohne dass wir uns ernsthaft fragen, woher sie kommen. Für den Logiker, der gern alles hübsch ordentlich definiert hat, stellt sich die Frage aber schon. Also: Ist die Zahl ein Objekt unserer Fantasie oder etwas Reales? Kann man sie als Eigenschaft von Gegenständen bezeichnen, oder hat sie eine ganz andere Qualität? Frege unternimmt den Versuch, sich der Zahl so zu nähern, wie man sie üblicherweise gebraucht: als Element der Sprache und als Attribut von Aussagen. Die Methode wurde berühmt – auch wenn die Mühe letztlich vergebens war. Denn Jahre nach der Veröffentlichung des Buches wurde Frege von Bertrand Russell auf Widersprüche in seiner Argumentation hingewiesen. Frege teilte das Schicksal vieler bedeutender Wissenschaftler: Obwohl er heute als Begründer einer Lehre – der modernen Logik – gilt, führte er doch zu Lebzeiten ein Schattendasein.

Zusammenfassung

Das Wesen der Zahlen

Was genau ist eine Zahl? Erstaunlicherweise kann die Mathematik auf diese Frage keine vernünftige Antwort geben, obwohl sie inzwischen viele Methoden entwickelt hat, mit Zahlen zu rechnen. Es ist beschämend für eine Wissenschaft, wenn sie nicht wirklich erklären kann, womit sie sich beschäftigt. Und wenn dies schon bei den einfachen, natürlichen Zahlen nicht gelingt, wie soll es dann erst bei den komplexen, negativen oder gebrochenen Zahlen funktionieren? Es ist notwendig, das Wesen der Zahl rein durch logische Ableitungen und Schlussfolgerungen zu definieren. Neben der Mathematik spielt auch die Philosophie eine wichtige Rolle bei diesen Definitionsversuchen.

Expertenmeinungen über die Arithmetik

Viele Mathematiker und Philosophen haben sich über die Natur der arithmetischen Sätze Gedanken gemacht. Ihre Ergebnisse könnten unterschiedlicher nicht sein. Auf die Frage, ob Zahlformeln wie etwa 5 + 2 = 7 beweisbar sind, haben verschiedene Denker eine Reihe von Antworten gefunden: Immanuel Kant bestritt es, Hermann Hankel kritisierte ihn dafür, Gottfried Wilhelm Leibniz hielt an der Beweisbarkeit...

Über den Autor

Gottlob Frege wird am 8. November 1848 in Wismar geboren, wo er bis zu seinem Abitur bleibt. Danach studiert er Mathematik, Physik und Philosophie in Jena und Göttingen. 1873 schließt er seine Promotion ab. Ein Jahr später habilitiert er, nach Jena zurückgekehrt, für das Fach Mathematik. 1879 wird er außerordentlicher Professor an der Universität in Jena. In diesem Jahr veröffentlicht er seine Begriffsschrift, mit der er die Logik revolutioniert. 1884 erscheint mit den Grundlagen der Arithmetik der erste Teil von Freges logizistischem Programm, der Ableitung der Mathematik aus der Logik. 1887 heiratet er. Da die Ehe kinderlos bleibt, adoptieren die Freges einen Jungen. 1893 und 1903 erscheinen die Grundgesetze der Arithmetik in zwei Bänden. 1896 wird Frege in Jena zum ordentlichen Honorarprofessor berufen. In der Universität ist er eher unauffällig und hat mit Ausnahme der Philosophen Rudolf Eucken und Bertrand Russell wenig Kontakt zu seinen Kollegen. Nach dem Tod seiner Frau 1904 verfällt Frege in eine Depression. In den folgenden Jahren publiziert er kaum etwas. Das ändert sich erst nach seiner Emeritierung im Jahr 1917. Ausgehend von seinen Überlegungen zur Logik widmet Frege sich vermehrt sprachphilosophischen Fragestellungen, beispielsweise in den Aufsätzen Über Sinn und Bedeutung, Über Begriff und Gegenstand (beide 1892), Der Gedanke (1918) und Die Verneinung (1919). Frege stirbt am 26. Juli 1925 in Bad Kleinen.

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